Question

已知f（x）=mx²+3（m-4）x-9（m∈R）．
（1）试判断函数f（x）的零点的个数；
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，求d=|x₁-x₂|的最小值；
（3）若m=1，且不等式f（x）-a＞0对x∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分别讨论m=0和m≠0两种情况，利用一次函数和二次函数的零点判断方法分别判断零点个数；（2）利用韦达定理，将d=|x₁-x₂|转化为关于m的函数，利用配方法求最值即可；（3）将所求恒成立问题转化为求函数f（x）的最值问题，利用二次函数的单调性求函数f（x）在[0，2]上的最小值即可

解答：解：（1）当m=0时，f（x）=-12x-9，函数的零点为x=-

3

4

，即函数只有一个零点
当m≠0时，△=9（m-4）²+36m=（m-2）²+12＞0
∴函数f（x）的零点的个数为2
故当m=0时，函数f（x）的零点的个数为1；当m≠0时，函数f（x）的零点的个数为2
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，则m≠0，
x₁+x₂=

12-3m

m

，x₁•x₂=

-9

m

∴d=|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

( 12-3m m ) 2+ 36 m

=12

( 1 m - 1 8 ) 2+ 3 64

≥12×

3 64

=

3 3

2

  （m=8时取等号）
∴d=|x₁-x₂|的最小值为

3 3

2

；
（3）若m=1，则f（x）=x²-9x-9
∴不等式f（x）-a＞0对x∈[0，2]恒成立，即x²-9x-9＞a对x∈[0，2]恒成立
只需f（x）在[0，2]上的最小值大于a
∵f（x）=x²-9x-9=（x-

9

2

）²-

117

4

≥f（2）=-23
∴a＜-23

点评：本题考查了一次函数与二次函数零点判断方法，二次方程韦达定理的应用，不等式恒成立问题的解法及配方法求二次函数的最值