已知f(x)=mx2+3(m-4)x-9(m∈R).
(1)试判断函数f(x)的零点的个数;
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,求d=|x1-x2|的最小值;
(3)若m=1,且不等式f(x)-a>0对x∈[0,2]恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】
分析:(1)分别讨论m=0和m≠0两种情况,利用一次函数和二次函数的零点判断方法分别判断零点个数;(2)利用韦达定理,将d=|x
1-x
2|转化为关于m的函数,利用配方法求最值即可;(3)将所求恒成立问题转化为求函数f(x)的最值问题,利用二次函数的单调性求函数f(x)在[0,2]上的最小值即可
解答:解:(1)当m=0时,f(x)=-12x-9,函数的零点为x=-
,即函数只有一个零点
当m≠0时,△=9(m-4)
2+36m=(m-2)
2+12>0
∴函数f(x)的零点的个数为2
故当m=0时,函数f(x)的零点的个数为1;当m≠0时,函数f(x)的零点的个数为2
(2)若函数f(x)有两个零点x
1,x
2,则m≠0,
x
1+x
2=
,x
1•x
2=
∴d=|x
1-x
2|=
=
=12
≥12×
=
(m=8时取等号)
∴d=|x
1-x
2|的最小值为
;
(3)若m=1,则f(x)=x
2-9x-9
∴不等式f(x)-a>0对x∈[0,2]恒成立,即x
2-9x-9>a对x∈[0,2]恒成立
只需f(x)在[0,2]上的最小值大于a
∵f(x)=x
2-9x-9=(x-
)
2-
≥f(2)=-23
∴a<-23
点评:本题考查了一次函数与二次函数零点判断方法,二次方程韦达定理的应用,不等式恒成立问题的解法及配方法求二次函数的最值