Question

6．设F₁，F₂为椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}$=1的焦点，P为椭圆上的一点，且∠F₁PF₂=60°，则△PF₁F₂的面积为3 $\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用椭圆定义求出|PF₁|+|PF₂|和|F₁F₂|的值，通过余弦定理求出|PF₁||PF₂|的值，再代入三角形的面积公式即可．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}$=1方程可知，
a=5，b=3，
∴c=4
∵P点在椭圆上，F₁、F₂为椭圆的左右焦点，
∴|PF₁|+|PF₂|=2a=10，|F₁F₂|=2c=8
在△PF₁F₂中，
cos∠F₁PF₂=$\frac{|{PF}_{1}{|}^{2}+|{PF}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2\left|{PF}_{1}\right|\left|{PF}_{2}\right|}$
=$\frac{（\right|{PF}_{1}{|}^{\;}+|{PF}_{2}{\left|）}^{2}-2\left|{PF}_{1}\right|\left|{PF}_{2}\right|-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2\left|{PF}_{1}\right|\left|{PF}_{2}\right|}$
=$\frac{100-2\left|{PF}_{1}\right|\left|{PF}_{2}\right|-64}{2\left|{PF}_{1}\right|\left|{PF}_{2}\right|}$
=cos60°=$\frac{1}{2}$，
∴72-4|PF₁||PF₂|=2|PF₁||PF₂|，
∴|PF₁||PF₂|=12，
又∵在△F₁PF₂中，
△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|sin∠F₁PF₂
∴S=$\frac{1}{2}$×12sin60°=3 $\sqrt{3}$；
故答案为：3 $\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查椭圆中焦点三角形的面积的求法，关键是应用椭圆的定义和余弦定理转化，考查计算能力