Question

18．已知函数f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$），x∈R．
（1）用五点法作出该函数在长度为一个周期上的简图；
（2）求函数f（x）的单调区间和对称轴方程；
（3）写出使得不等式f（x）≥$\sqrt{3}$成立的x值的集合．

Answer 1

分析 （1）根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象．
（2）根据函数的对称性以及函数的单调性即可得到结论．
（3）根据函数最值的性质解方程即可．

解答 解：（1）列表：

x	$\frac{π}{9}$	$\frac{5π}{18}$	$\frac{4π}{9}$	$\frac{11π}{18}$	$\frac{7π}{9}$
3x-$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y	0	2	0	-2	0

描点、连线如图所示：

（2）函数f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$），x∈R．
令3x-$\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，解得：x∈[$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{π}{18}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{18}$]，k∈Z．
从而可求得 f（x）的单调递增区间为：[$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{π}{18}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{18}$]，k∈Z．
令3x-$\frac{π}{3}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，k∈Z，解得：x∈[$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{18}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{11π}{18}$]，k∈Z．
 从而可得f（x）的单调递减区间为：[$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{18}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{11π}{18}$]，k∈Z．
令3x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得对称轴方程是：x=$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{5π}{18}$，k∈Z．
（3）∵f（x）≥$\sqrt{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（3x-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，解得：$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{2π}{9}$≤x≤$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴x值的集合是：[$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{2π}{9}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数的图象的作法，考查了正弦函数的对称性，单调性，利用五点法是解决三角函数图象的基本方法，属于中档题．