Question

3．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=4，AA₁=a，点E、F分别为AB、C₁B的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）如果∠A₁FE=90°，写出a的值；（只写出结果即可，不用写过程）
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点B到平面A₁EF的距离．

Answer 1

分析 （I）如图所示，连接AC₁．利用三角形中位线定理即可得出：EF∥AC₁，再利用线面平行的判定定理即可得出．
（II）如图所示，建立空间直角坐标系．由∠A₁FE=90°，可得$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=0，a＞0，解得a．
（III）设平面A₁EF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}F}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．利用点B到平面A₁EF的距离=$\frac{|\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （I）证明：如图所示，连接AC₁．∵点E、F分别为AB、C₁B的中点，
∴EF∥AC₁，
又EF?平面ACC₁A₁；AC₁?平面ACC₁A₁．
∴EF∥平面ACC₁A₁．
（II）解：如图所示，建立空间直角坐标系．D（0，0，0），E（4，1，0），A₁（4，0，a），F$（2，2，\frac{a}{2}）$，
$\overrightarrow{EF}$=$（-2，1，\frac{a}{2}）$，$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=$（-2，2，-\frac{a}{2}）$．
∵∠A₁FE=90°，
∴$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=4+2-$\frac{{a}^{2}}{2}$=0，a＞0，解得a=2$\sqrt{3}$．
（III）解：由（II）可得A₁（4，0，2$\sqrt{3}$），F$（2，2，\sqrt{3}）$，B（4，2，0）．
∴$\overrightarrow{EF}$=（-2，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=$（-2，2，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{EB}$=（0，1，0）．
设平面A₁EF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}F}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2x+y+\sqrt{3}z=0}\\{-2x+2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（9，12，2$\sqrt{3}$）．
∴点B到平面A₁EF的距离=$\frac{|\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{12}{\sqrt{{9}^{2}+1{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{12\sqrt{247}}{247}$．

点评 本题考查了空间位置关系与空间距离、法向量的应用、数量积运算性质、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．