Question

16．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是①③④（写出所有正确命题的编号）．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；
④存在恰经过一个整点的直线．

Answer 1

分析 逐项判断即可．①举例说明即可；②举反例即可判断；③说明当直线l经过两个整点时直线l经过无穷多个整点时关键；④举例说明即可得到该命题正确．

解答 解：①如直线$y=\sqrt{2}x-\sqrt{3}$，该直线不经过任何整点，因为当x为整数时，y都是无理数，故①正确；
②取k=$\sqrt{2}$，b=-$\sqrt{2}$都是无理数，但直线$y=\sqrt{2}x-\sqrt{2}$经过整点（1，0），故此②错误；
③当直线经过无穷多过整点时肯定经过两个整点，当直线经过两个整点时，设两整点的坐标为（m，n），（p，q），且m≠p，n≠q，则直线方程为$y=\frac{n-q}{m-p}（x-m）+n$，当x=k（m-p）+m，k∈Z时，y=k（n-q）+n∈Z，即直线经过整点（k（m-p）+m，k（n-q）+n），k∈Z，k每取一个整数就对应一整点，所以直线经过无穷多个整点，故③正确；
④若直线方程为$y=\sqrt{2}x$，直线经过整点（0，0），当x取不为零的任意整数时，y都是无理数，故该直线仅经过整点（0，0），故④正确．
综上可知，答案为：①③④．

点评 本题考查直线的相关知识．是一个新定义问题，解决此类问题关键是理解定义，再用定义结合所学知识解题．本题结论③的判断是本题难点．