Question

已知关于x的不等式-x²+ax+b＞0的解集为A={x|-1＜x＜3，x∈R}
（1）求a、b的值
（2）设函数f（x）=lg（-x²+ax+b），求最小的整数m，使得对于任意的x∈A，都有f（x）≤m成立．

Answer 1

分析：（1）根据题中条件：“x的不等式-x²+ax+b＞0的解集为A={x|-1＜x＜3，x∈R}”得-1和3是相应方程的根，结合方程根的定义即可求得a值．
（2）由（1）得：函数f（x）=lg（-x²+2x+3），x∈A={x|-1＜x＜3，x∈R}得出0＜-x²+2x+3≤4，根据对于任意的x∈A，都有f（x）≤m成立，得出m要大于等于lg（-x²+2x+3）的最大值即可，从而m≥lg4，最后得出m最小的整数．

解答：解：（1）∵关于x的不等式-x²+ax+b＞0的解集为A={x|-1＜x＜3，x∈R}
∴当x=-1或3时，-x²+ax+b＞0，
即

-1-a+b=0 -9+3a+b=0

∴a=2，b=3．
（2）由（1）得：函数f（x）=lg（-x²+2x+3），
∵x∈A={x|-1＜x＜3，x∈R}
∴0＜-x²+2x+3≤4
∴lg（-x²+2x+3）≤lg4，
从而m≥lg4，
故最小的整数m=1．

点评：本小题主要考查一元二次不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．属于基础题．