Question

18．现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为t，要使其体积最大，其高为（　　）

• A． .$\frac{1}{3}{t^2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}t$．
• C． .$\frac{{\sqrt{2}}}{3}t$．
• D． .$\frac{1}{2}t$

Answer 1

分析 设圆锥形漏斗的高为h，我们可以表示出底面半径r，进而得到圆锥体积的表达式，利用导数法，易得到体积取最大值时，高h与母线l之间的关系．

解答 解：设圆锥形漏斗的高为h，则圆锥的底面半径为$\sqrt{{t}^{2}-{h}^{2}}$，（0＜h＜t）
则圆锥的体积V=$\frac{1}{3}$•π（t²-h²）•h=-$\frac{π}{3}$h³+$\frac{π{t}^{2}}{3}$h
则V′=-πh²+$\frac{π{t}^{2}}{3}$，
令V′=0
则h=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$t
∵0＜h＜t
∴当高h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t时，圆锥的体积取最大值，
故选：B．

点评 本题考查的知识点是圆锥的体积，函数的最值，导数法在求函数最值中的应用，其中设出漏斗的高为h，表示出底面半径r，进而得到圆锥体积的表达式，建立函数数学模型是解答本题的关键．