Question

7．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}-{cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx$．
（1）求f（x）单调递减区间；
（2）△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足b²+c²-a²＞bc，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得f（x）的减区间．
（2）由已知利用余弦定理可得cosA＞$\frac{1}{2}$，可得$0＜A＜\frac{π}{3}$，解得2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），利用正弦函数的图象和性质即可得解取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{2}-{cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），…3分
∴2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）的减区间$[\frac{π}{3}+kπ，\frac{5π}{6}+kπ]，k∈Z$…（6分）
（2）∵b²+c²-a²＞bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$＞$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴由题意可知$0＜A＜\frac{π}{3}$，可得：2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）．…（9分）
∴$f（A）∈（-\frac{1}{2}，1）$…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．