Question

12．如图，已知正方形OABC边长为3，点M，N分别为线段BC，AB上一点，且2BM=MC，AN=NB，P为△BNM内一点（含边界），设$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OC}$（λ，μ为实数），则$λ-\frac{1}{3}μ$的最大值为$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 如图，以OA为x轴，以OC为y轴，建立直角坐标系，表示各点的坐标，根据向量的坐标运算得到λ$-\frac{1}{3}μ$=$\frac{x}{3}$-$\frac{y}{9}$=$\frac{1}{9}$（3x-y），构造目标函数，利用可行域即可求出最值．

解答 解：如图，以OA为x轴，以OC为y轴，建立直角坐标系，
则O（0，0），A（3，0），C（0.3），B（3，3），
∵2BM=MC，AN=NB，
∴M（1，3），N（3，$\frac{3}{2}$），
设P（x，y），
∵$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OC}$（λ，μ为实数），
∴$\overrightarrow{OP}$=λ（3，0）+μ（0，3）=（3λ，3μ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3λ}\\{y=3μ}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{x}{3}}\\{μ=\frac{y}{3}}\end{array}\right.$，
∴λ$-\frac{1}{3}μ$=$\frac{x}{3}$-$\frac{y}{9}$=$\frac{1}{9}$（3x-y），
令z=3x-y，即y=3x-z，
由M（1，3），N（3，$\frac{3}{2}$），得到直线MN的方程为3x+4x-15=0，
则x，y满足的区域为$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤3}\\{\frac{3}{2}≤y≤3}\\{3x+4y-15≥0}\end{array}\right.$，如图所示，
当目标函数z=3x-y，过点N（3，$\frac{3}{2}$）时，Z最大，
则z_max=3×3-$\frac{3}{2}$=9-$\frac{3}{2}$=$\frac{15}{2}$，
∴（λ$-\frac{1}{3}μ$）max=$\frac{1}{9}$×$\frac{15}{2}$=$\frac{5}{6}$
故答案为：$\frac{5}{6}$

点评 本题考查了向量的坐标运算和和线性规划的问题，关键是构造目标函数，属于中档题．