Question

已知正项数列{a_n}满足a₁=

1

2

，且a_n+1=

an

1+an

．
（1）求证：数列{

1

an

}是等差数列；
（2）求正项数列{a_n}的通项公式；
（3）若等比数列{b_n}的通项公式是：b_n=2^n-1，求数列{

bn

an

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）对a_n+1=

an

1+an

两边取倒数可得结论；
（2）由（1）及等差数列的通项公式可求；
（3）易求

bn

an

，然后利用错位相减法可求得S_n．

解答： （1）证明：由a_n+1=

an

1+an

，得

1

an+1

=

1+an

an

=1+

1

an

，即

1

an+1

-

1

an

=1，
∴数列{

1

an

}是等差数列，公差为1，首项为2；
（2）由（1）知，

1

an

=2+(n-1)×1=n+1，
∴an=

1

n+1

；
（3）

bn

an

=（n+1）•2^n-1，
∴S_n=2×1+3×2+4×2²+…+（n+1）×2^n-1①，
2S_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ②，
①-②得，-S_n=2+2+2²+2³+…+2^n-1-（n+1）×2ⁿ
=2+

2(1-2n-1)

1-2

-（n+1）×2ⁿ=-n×2ⁿ，
∴S_n=n×2ⁿ．

点评：该题考查等差数列、等比数列的通项公式、数列求和等知识，考查学生的运算求解能力，错位相减法对数列求和是高频考点，要熟练掌握．