Question

若正四棱锥底面边长为a，侧棱与底面成60°角，求：
（1）棱锥的侧棱和斜高；
（2）棱锥的侧面和底面所成的角．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）在正四棱锥SABCD中，SO⊥底面ABCD，则O是底面中心，∠SBO=60°，从而SB=2OB=

2

a，作OM⊥BC于M，连结SM，则SM⊥BC，由此能求出棱锥的侧棱和斜高．
（2）∠SMO即为侧面与底面所成的角，由此能求出棱锥的侧面和底面所成的角．

解答： 解：（1）如图所示，在正四棱锥SABCD中，
SO⊥底面ABCD，则O是底面中心，
∠SBO即为侧棱SB与底面ABCD所成的角，
故∠SBO=60°，
∴SB=2OB=

2

a，
作OM⊥BC于M，连结SM，则SM⊥BC，
∴SM即为正四棱锥的斜高，
在Rt△SOM中，SM=

7

2

a．
∴正四棱锥的侧棱长为

2

a，斜高为

7

2

a．
（2）由（1）知，∠SMO即为侧面与底面所成的角，
cos∠SMO=

1 2 a

7 2 a

=

7

7

．
∴∠SMO=arccos 

7

7

，
即棱锥的侧面和底面所成的角为arccos 

7

7

．

点评：本题考查棱锥的侧棱和斜高的求法，考查棱锥的侧面和底面所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．