【题目】已知A(a,0)、B(0,b)(其中ab≠0)O为坐标原点.
(1)动点P(x,y)满足,求P点的轨迹方程;
(2)设是线段AB的n+1(n≥1)等分点,当n=2018时,求
的值;
(3)若a=b=1,t∈[0,1],求的最小值.
【答案】(1)=1;(2)
;(3)
【解析】
(1)由,可得点
三点共线,即点
在直线
上,
再求直线的截距式方程即可;
(2)设依次为从A起始的2019个等分点,可得
,再首尾相加可得
的值;
(3)的几何意义是:线段
上的一点
到两个定点
的距离之和,再利用两点之间线段最短,求最小值即可.
解: (1)因为,
所以,
所以,
即,
即点三点共线,即点
在直线
上,
由直线的截距式方程可得: P点的轨迹方程为=1;
(2)不妨设依次为从A起始的2019个等分点,于是有
,
,
所以,事实上,对任意的正整数
,若
,
则有,
,
即,
所以
,
所以;
(3)当a=b=1,根据题意,在线段上存在一点
,使得
,
,
且有点 ,
,则有
,
,则
的几何意义是:线段
上的一点
到两个定点
的距离之和,又直线
的方程为
, 易得点
关于直线
的对称点为
,根据反射定律可得
即为所求的最小值,又
,
故的最小值为
.
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【题目】中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问此人第5天走的路程为( )
A. 36里 B. 24里 C. 18里 D. 12里
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
和
,离心率是
,直线
过点
交椭圆于
,
两点,当直线
过点
时,
的周长为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)当直线绕点
运动时,试求
的取值范围.
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【题目】一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”问题,原文如下:有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,求这个整数.设这个整数为
,当
时, 符合条件的
共有_____个.
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【题目】某书店刚刚上市了《中国古代数学史》,销售前该书店拟定了5种单价进行试销,每种单价(元)试销l天,得到如表单价
(元)与销量
(册)数据:
单价 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
销量 | 61 | 56 | 50 | 48 | 45 |
(l)根据表中数据,请建立关于
的回归直线方程:
(2)预计今后的销售中,销量(册)与单价
(元)服从(l)中的回归方程,已知每册书的成本是12元,书店为了获得最大利润,该册书的单价应定为多少元?
附:,
,
,
.
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