Question

【题目】已知A(a,0)、B(0,b)（其中ab≠0）O为坐标原点.

（1）动点P(x,y)满足,求P点的轨迹方程；

（2）设是线段AB的n+1（n≥1）等分点，当n=2018时，求的值；

（3）若a=b=1,t∈[0,1],求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）=1；（2）；（3）

【解析】

（1）由，可得点三点共线,即点在直线上,

再求直线的截距式方程即可；

（2）设依次为从A起始的2019个等分点，可得，再首尾相加可得的值；

（3）的几何意义是：线段上的一点到两个定点的距离之和，再利用两点之间线段最短，求最小值即可.

解: （1）因为,

所以,

所以,

即,

即点三点共线,即点在直线上,

由直线的截距式方程可得: P点的轨迹方程为=1；

（2）不妨设依次为从A起始的2019个等分点，于是有, ,

所以，事实上，对任意的正整数，若，

则有，，

即，

所以

,

所以；

（3）当a=b=1,根据题意，在线段上存在一点，使得 , ,

且有点 ，,则有,

,则的几何意义是：线段上的一点到两个定点的距离之和，又直线的方程为， 易得点关于直线的对称点为，根据反射定律可得即为所求的最小值，又，

故的最小值为.