Question

已知集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，记和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数为M（A）．对于集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n}，若实数b₁，b₂，b₃，…，b_n成等差数列，则M（B）=

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：把 b_i+b_j （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成图表，严格利用题目给出的新定义，采用列举法来进行求解即可．

解答： 解：对于集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n}，若实数b₁，b₂，b₃，…，b_n成等差数列，
则 b_i+b_j （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成如下各列所示图表：
b₁+b₂，b₂+b₃，b₃+b₄，…，b_n-1+b_n，
b₁+b₂，b₂+b₄，b₃+b₅，…，b_n-2+b_n，
…，…，…，
b₁+b_n-2，b₂+b_n-1，b₃+b_n，
b₁+b_n-1，b₂+b_n，
b₁+b_n，
∵数列{b_n}是等差数列，
∴b₁+b₄=b₂+b₃，b₁+b₅=b₂+b₄，…，b₁+b_n=b₂+b_n-1．
∴第二列中只有 b₂+b_n 的值和第一列不重复，即第二列剩余一个不重复的值，
同理，以后每列剩余一个与前面不重复的值，
∵第一列共有n-1个不同的值，后面共有n-1列，
∴所有不同的值有：n-1+n-2=2n-3，故M（B）=2n-3，
故答案为2n-3．

点评：本题是新定义题，考查了等差数列的性质，准确列出 b_i+b_j （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值表是解决该题的关键，是中档题．