Question

5．（1）已知$cos（{\frac{5}{2}π-θ}）=\frac{1}{3}$，
求$\frac{sin（π+θ）}{sinθ[sin（π-θ）-1]}+\frac{sin（θ-2π）}{{cos（θ+\frac{3}{2}π）sin（θ-π）-cos（θ-\frac{3}{2}π）}}$的值．
（2）已知$\frac{sinα}{sinα-cosα}=-1$，求$\frac{{{{sin}^2}α+2sinαcosα}}{{2{{sin}^2}α+1}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用诱导公式求出sinθ，再由三角函数的诱导公式解析化简求值；
（2）由已知化弦为切求出tanα，再利用商的关系化弦为切求得$\frac{{{{sin}^2}α+2sinαcosα}}{{2{{sin}^2}α+1}}$的值．

解答 解：（1）由$cos（{\frac{5}{2}π-θ}）=\frac{1}{3}$，得sin$θ=\frac{1}{3}$．
∴$\frac{sin（π+θ）}{sinθ[sin（π-θ）-1]}+\frac{sin（θ-2π）}{{cos（θ+\frac{3}{2}π）sin（θ-π）-cos（θ-\frac{3}{2}π）}}$
=$\frac{-sinθ}{sinθ（sinθ-1）}+\frac{sinθ}{-cos（θ+\frac{π}{2}+π）sinθ+cos（θ-\frac{π}{2}-π）}$
=$\frac{1}{1-sinθ}+\frac{sinθ}{-si{n}^{2}θ+sinθ}=\frac{2}{1-sinθ}=3$；
（2）由$\frac{sinα}{sinα-cosα}=-1$，得$\frac{tanα}{tanα-1}=-1$，得tan$α=\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{{{sin}^2}α+2sinαcosα}}{{2{{sin}^2}α+1}}$=$\frac{\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}+\frac{2sinα•cosα}{co{s}^{2}α}}{\frac{3si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}+1}$
=$\frac{ta{n}^{2}α+2tanα}{3ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{（\frac{1}{2}）^{2}+2×\frac{1}{2}}{3×（\frac{1}{2}）^{2}+1}=\frac{5}{7}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，利用“齐次式”化弦为切是关键，是中档题．