Question

（14分）设F₁、F₂分别为椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.
（1）若椭圆C上的点A（1，）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程；
（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明．

Answer 1

（1）椭圆C的方程为=1，焦点F₁（－1，0），F₂（1，0）.
（2）为所求的轨迹方程.
（3）k_PM·k_PN=.证明略

解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.又点A（1，）在椭圆上，因此=1得b²=3，于是c²=1.
所以椭圆C的方程为=1，焦点F₁（－1，0），F₂（1，0）.
（2）设椭圆C上的动点为K（x₁，y₁），线段F₁K的中点Q（x，y）满足：
， 即x₁=2x+1，y₁=2y.
因此=1.即为所求的轨迹方程.
（3）类似的性质为：若M、N是双曲线：=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值.
设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中=1.
又设点P的坐标为（x，y），由，
得k_PM·k_PN=，将m²－b²代入得k_PM·k_PN=.