Question

7．已知椭圆E的中心为原点坐标，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，E的右焦点与抛物线C：y²=12x的焦点重合，则椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 由题意可设椭圆E的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．抛物线C：y²=12x的焦点为（3，0），可得c=3，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，联立解出a、b即可得出．

解答 解：由题意可设椭圆E的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
抛物线C：y²=12x的焦点为（3，0），
∴c=3，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
联立解得：a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$．
∴椭圆E的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．