Question

19．下列说法之和正确的序号是：②④．
①函数y=log₂（x²-2x-3）的单调增区间为（1，+∞）；
②若扇形的周长是6cm，面积是2cm²，则扇形的中心角的弧度数是1或4；
③函数y=lg（x+1）+lg（x-1）为偶函数；
④若x+$\frac{1}{x}$=2$\sqrt{2}$，则$\frac{1+{x}^{4}}{{x}^{2}}$的值为6．

Answer 1

分析 ①由x²-2x-3＞0，解得x＞3或x＜-1，又函数y=log₂（x²-2x-3）=$lo{g}_{2}[（x-1）^{2}-4]$，可得函数的单调增区间为（3，+∞），即可判断出正误；
②设扇形的中心角的弧度数与半径分别为θ，r，可得：$\left\{\begin{array}{l}{2r+θr=6}\\{\frac{1}{2}θ•{r}^{2}=2}\end{array}\right.$，解出即可判断出正误；
③由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，解得x＞1，可得函数y=lg（x+1）+lg（x-1）的定义域为（1，+∞），关于原点不对称，即可判断出奇偶性．
④由x+$\frac{1}{x}$=2$\sqrt{2}$，变形$\frac{1+{x}^{4}}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{{x}^{2}}$+x²=$（x+\frac{1}{x}）^{2}$-2，求出即可判断出正误．

解答 解：①由x²-2x-3＞0，解得x＞3或x＜-1，又函数y=log₂（x²-2x-3）=$lo{g}_{2}[（x-1）^{2}-4]$，因此函数的单调增区间为（3，+∞），因此不正确；
②设扇形的中心角的弧度数与半径分别为θ，r，可得：$\left\{\begin{array}{l}{2r+θr=6}\\{\frac{1}{2}θ•{r}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{θ=1}\\{r=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{θ=4}\\{r=1}\end{array}\right.$，则扇形的中心角的弧度数是1或4，正确；
③由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，解得x＞1，可得函数y=lg（x+1）+lg（x-1）的定义域为（1，+∞），关于原点不对称，因此不具有奇偶性，因此不正确；
④若x+$\frac{1}{x}$=2$\sqrt{2}$，则$\frac{1+{x}^{4}}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{{x}^{2}}$+x²=$（x+\frac{1}{x}）^{2}$-2=$（2\sqrt{2}）^{2}$-2=6，因此正确．
综上可得：值域②④正确．
故答案为：②④．

点评 本题考查了函数的定义域与值域、函数的单调性与奇偶性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．