Question

已知椭圆C的焦点F₁（-2

2

，0）和F₂（2

2

，0），长轴长6．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据焦点坐标得出椭圆的焦点在x轴上，由椭圆的焦点坐标得出c的值，再由长轴的值求出a的值，进而利用椭圆的性质求出b的值，确定出椭圆的标准方程；
（2）与直线y=x+2联立，消去y得到关于x的一元二次方程，设出两交点A与B的坐标，利用根与系数的关系、弦长公式，即可求线段AB的长．

解答： 解：（1）∵椭圆C的焦点F₁（-2

2

，0）和F₂（2

2

，0），长轴长6，
∴椭圆的焦点在x轴上，c=2

2

，a=3，
∴b=1，
∴椭圆C的标准方程为

x2

9

+y2=1；
（2）直线y=x+2代入椭圆方程可得10x²+36x+27=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

18

5

，x₁x₂=

27

10

，
∴|AB|=

1+1

•

(- 18 5 )2-4× 27 10

=

6 3

5

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查弦长公式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．