Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且点（1，

3

2

）在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，若

OA

•

OB

=0，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由题意a=2，设所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

b2

=1，代入已知点，即可得到b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设出直线AB的方程为y=k（x-

3

），联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和向量的数量积坐标公式，化简整理，解方程，即可得到k，进而得到所求直线方程．

解答： 解：（Ⅰ）由题意a=2，设所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

b2

=1．
又点（1，

3

2

）在椭圆上，可得b=1．
则所求椭圆方程为

x2

4

+y²=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a²=4，b²=1，所以c=

3

，椭圆右焦点为（

3

，0）．
则直线AB的方程为y=k（x-

3

）．
由

y=k(x- 3 ) x2+4y2-4=0

可得（1+4k²）x²-8

3

k²x+12k²-4=0．　   
由于直线AB过椭圆右焦点，可知△＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8 3 k2

1+4k2

，x₁x₂=

12k2-4

1+4k2

，
y₁y₂=k²（x₁-

3

）（x₂-

3

）=k²[x₁x₂-

3

（x₁+x₂）+3]=

-k2

1+4k2

．
所以

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

12k2-4

1+4k2

+

-k2

1+4k2

=

11k2-4

1+4k2

．
由

OA

•

OB

=0，即

11k2-4

1+4k2

=0，可得k²=

4

11

，即k=±

2 11

11

．
所以直线l的方程为y=±

2 11

11

（x-

3

）．

点评：本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理，以及平面向量的数量积的坐标公式，考查化简整理和运算能力，属于中档题．