Question

已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．
（1）若f（x）=cosx，x∈[0，π]，试写出f₁（x），f₂（x）的表达式；
（2）已知函数f（x）=x²，x∈[-1，4]，试判断f（x）是否为[-1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；
（3）已知b＞0，函数f（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）=cosx的最大值为1，可得f₁（x）、f₂（x）的解析式．
（2）根据函数f（x）=x²在x∈[-1，4]上的值域，先写出f₁（x）、f₂（x）的解析式，再由f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）求出k的范围得到答案．
（3）先对函数f（x）进行求导判断函数的单调性，进而写出f₁（x）、f₂（x）的解析式，然后再由f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）求出k的范围得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：f₁（x）=cosx，x∈[0，π]，f₂（x）=1，x∈[0，π]．
（Ⅱ）f1(x)=

x2，x∈[-1，0) 0，x∈[0，4]

，f2(x)=

1，x∈[-1，1) x2，x∈[1，4]

f2(x)-f1(x)=

1-x2，x∈[-1，0) 1，x∈[0，1) x2，x∈[1，4]

当x∈[-1，0]时，1-x²≤k（x+1），∴k≥1-x，k≥2；
当x∈（0，1）时，1≤k（x+1），∴k≥

1

x+1

，∴k≥1；
当x∈[1，4]时，x²≤k（x+1），∴k≥

x2

x+1

，∴k≥

16

5

．
综上所述，∴k≥

16

5

即存在k=4，使得f（x）是[-1，4]上的4阶收缩函数．

（Ⅲ）f'（x）=-3x²+6x=-3x（x-2），令f'（x）=0得x=0或x=2．

函数f（x）的变化情况如下：
令f（x）=0，解得x=0或3．

（ⅰ）b≤2时，f（x）在[0，b]上单调递增，
因此，f₂（x）=f（x）=-x³+3x²，f₁（x）=f（0）=0．
因为f（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，
所以，①f₂（x）-f₁（x）≤2（x-0）对x∈[0，b]恒成立；
②存在x∈[0，b]，使得f₂（x）-f₁（x）＞（x-0）成立．
①即：-x³+3x²≤2x对x∈[0，b]恒成立，
由-x³+3x²≤2x，解得：0≤x≤1或x≥2，
要使-x³+3x²≤2x对x∈[0，b]恒成立，需且只需0＜b≤1．
②即：存在x∈[0，b]，使得x（x²-3x+1）＜0成立．
由x（x²-3x+1）＜0得：x＜0或

3- 5

2

＜x＜

3+ 5

2

，
所以，需且只需b＞

3- 5

2

．
综合①②可得：

3- 5

2

＜b≤1．

（ⅱ）当b＞2时，显然有

3

2

∈[0，b]，由于f（x）在[0，2]上单调递增，
根据定义可得：f2(

3

2

)=

27

8

，f1(

3

2

)=0，
可得f2(

3

2

)-f1(

3

2

)=

27

8

＞2×

3

2

=3，
此时，f₂（x）-f₁（x）≤2（x-0）不成立．
综合ⅰ）ⅱ）可得：

3- 5

2

＜b≤1．
注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用

3

2

只是因为简单而已．

点评：本题主要考查学生的对新问题的接受、分析和解决的能力．要求学生要有很扎实的基本功才能作对这类问题．