Question

8．设函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的减函数，当不等式组$\left\{\begin{array}{l}{f（1+kx-{x}^{2}）＞f（k+2）}\\{f（3kx-1）＞f（1+kx-{x}^{2}）}\end{array}\right.$对任意的x∈[0，1]都成立时，求k的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数的单调性，将不等式组$\left\{\begin{array}{l}{f（1+kx-{x}^{2}）＞f（k+2）}\\{f（3kx-1）＞f（1+kx-{x}^{2}）}\end{array}\right.$对任意的x∈[0，1]都成立，转化为$\left\{\begin{array}{l}1+kx-{x}^{2}＜k+2\\ 3kx-1＜1+kx-{x}^{2}\end{array}\right.$对任意的x∈[0，1]都成立，结合二次函数的图象和性质，可得k的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的减函数，
若不等式组$\left\{\begin{array}{l}{f（1+kx-{x}^{2}）＞f（k+2）}\\{f（3kx-1）＞f（1+kx-{x}^{2}）}\end{array}\right.$对任意的x∈[0，1]都成立，
则$\left\{\begin{array}{l}1+kx-{x}^{2}＜k+2\\ 3kx-1＜1+kx-{x}^{2}\end{array}\right.$对任意的x∈[0，1]都成立，
即$\left\{\begin{array}{l}（1-x）k+{x}^{2}+1＞0\\ 2kx+{x}^{2}-2＜0\end{array}\right.$对任意的x∈[0，1]都成立，
则$\left\{\begin{array}{l}k+1＞0\\-2＜0\\ 2＞0\\ 2k-1＜0\end{array}\right.$，
解得：k∈（-1，$\frac{1}{2}$）

点评 本题考查了函数的单调性的判断及性质，同时考查了恒成立问题，属于中档题．