Question

16．已知命题p：-x²+8x+20≥0；命题q：x²+2x+1-4m²≤0．
（1）当m∈R时，解不等式x²+2x+1-4m²≤0；
（2）当m＞0时，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）x²+2x+1-4m²=（x+1-2m）（x+1+2m）=0的两根为-1+2m，-1-2m，分-1+2m＞-1-2m，1+2m=-1-2m=-1，1+2m＜-1-2m三种情况求解不等式
（2）求出p：-2≤x≤10，q：-1-2m≤x≤-1+2m，由?p是?q的必要不充分条件，得q是p的必要不充分条件．即$\left\{{\begin{array}{l}{-1-2m≤-2}\\{-1+2m≥10}\\{m＞0}\end{array}}\right.$，且等号不能同时取，
解得实数m的取值范围，

解答 解：（1）x²+2x+1-4m²=（x+1-2m）（x+1+2m）=0，
所以x²+2x+1-4m²=0对应的两根为-1+2m，-1-2m，
当m＞0时，-1+2m＞-1-2m，不等式的解集为{x|-1-2m≤x≤-1+2m}，
当m=0时，-1+2m=-1-2m=-1，不等式的解集为{x|x=-1}，
当m＜0时，-1+2m＜-1-2m，不等式的解集为{x|-1+2m≤x≤-1-2m}；
（2）由-x²+8x+20≥0可得，（x-10）（x+2）≤0，
所以-2≤x≤10，即p：-2≤x≤10
由（1）知，当m＞0时，不等式的解集为{x|-1-2m≤x≤-1+2m}，
所以q：-1-2m≤x≤-1+2m，
∵?p是?q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．
即$\left\{{\begin{array}{l}{-1-2m≤-2}\\{-1+2m≥10}\\{m＞0}\end{array}}\right.$，且等号不能同时取，
解得$m≥\frac{11}{2}$．故实数m的取值范围为$m≥\frac{11}{2}$．

点评 本题考查了命题真假的应用，属于基础题．