Question

9．在△ABC中，若tanB=-2，cosC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，则∠A=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinB、cosB、sinC的值，再利用诱导公式、两角和的余弦公式求得cos∠A=-cos（B+C）的值，可得∠A的值．

解答 解：在△ABC中，若tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=-2，则由sin²B+cos²B=1 可得，sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
由cosC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，可得sinC=$\sqrt{{1-cos}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cos∠A=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC=$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠A=$\frac{π}{4}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、两角和的余弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．