Question

14．已知：tan（α+$\frac{1}{4}$β）=x+2，tan（α-$\frac{1}{4}$β）=x+1（x≥-1）
（1）当x=1时，求tan2α，tanβ的值；
（2）若对于α≠$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$（k∈z）的一切α，是否存在实数λ，使λ≤tan2α恒成立，若存在，求λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和差的正切公式求得tan2α，tanβ的值．
（2）由条件利用两角和差的正切公式求得tan2α的值，再通过换元、利用函数的单调性求得tan2α的最小值，可得λ的取值范围．

解答 解：（1）当x=1时，tan（α+$\frac{1}{4}$β）=x+2=3，tan（α-$\frac{1}{4}$β）=x+1=2，
∴tan2α=tan[（α+$\frac{1}{4}$β）+（α-$\frac{1}{4}$β）]=$\frac{tan（α+\frac{β}{4}）+tan（α-\frac{β}{4}）}{1-tan（α+\frac{β}{4}）•tan（α-\frac{β}{4}）}$=$\frac{3+2}{1-3×2}$=-1，
tan$\frac{β}{2}$=tan[（α+$\frac{1}{4}$β）-（α-$\frac{1}{4}$β）]=$\frac{tan（α+\frac{β}{4}）-tan（α-\frac{β}{4}）}{1+tan（α+\frac{β}{4}）•tan（α-\frac{β}{4}）}$=$\frac{3-2}{1+3×2}$=$\frac{1}{7}$，
∴tanβ=$\frac{2tan\frac{β}{2}}{1{-tan}^{2}\frac{β}{2}}$=$\frac{\frac{2}{7}}{1-\frac{1}{49}}$=$\frac{7}{24}$．
（2）由于tan2α=tan[（α+$\frac{1}{4}$β）+（α-$\frac{1}{4}$β）]=$\frac{tan（α+\frac{β}{4}）+tan（α-\frac{β}{4}）}{1-tan（α+\frac{β}{4}）•tan（α-\frac{β}{4}）}$=$\frac{（x+2）+（x+1）}{1-（x+2）（x+1）}$=$\frac{2x+3}{{-x}^{2}-3x-1}$，
令f（x）=$\frac{2x+3}{{-x}^{2}-3x-1}$=-$\frac{2（x+\frac{3}{2}）}{{（x+\frac{3}{2}）}^{2}-\frac{5}{4}}$，再令t=x+$\frac{3}{2}$，则f（x）=g（t）=-$\frac{2t}{{t}^{2}-\frac{5}{4}}$=-$\frac{2}{t-\frac{5}{4t}}$．
由于函数y=t-$\frac{5}{4t}$为增函数，故g（t）=-$\frac{2}{t-\frac{5}{4t}}$为增函数．
由x≥-1，可得t≥$\frac{1}{2}$，故当t=$\frac{1}{2}$时，g（t）取得最小值为1，即tan2α的最小值为1．
再根据λ≤tan2α恒成立，可得λ≤1．

点评 本题主要考查两角和差的正切公式，二倍角的正切公式的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．