Question

18．直线l经过点P（1，2），且与两坐标轴围成的面积为S，如果符合条件的直线l能作且只能作三条，则S=（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 8

Answer 1

分析 解法一：由题意可设直线l的方程为：y-2=k（x-1）（k≠0），分别令x=0，令y=0，可得与坐标轴的交点．S=$\frac{1}{2}$|2-k|•$|\frac{k-2}{k}|$，化为：k＞0时，化为：k²-（4+2S）k+4=0；k＜0时，化为：k²-（4-2S）k+1=0，根据符合条件的直线l能作且只能作三条，可得上述两个方程一个仅有一个正解，而另一个有两个不等的正解．
解法二：设x轴、y轴截距分别为a、b．对a，b分类讨论：①a＞0，b＞0时，满足S为定值的l只有1条．
②ab＜0时，满足S为定值的l有2条．

解答 解：解法一：由题意可设直线l的方程为：y-2=k（x-1）（k≠0），令x=0，解得y=2-k；令y=0，解得x=$\frac{k-2}{k}$．
∴S=$\frac{1}{2}$|2-k|•$|\frac{k-2}{k}|$，化为：k²-4k-2S|k|+4=0，即k＞0时，化为：k²-（4+2S）k+4=0；k＜0时，化为：k²-（4-2S）k+4=0，
∵符合条件的直线l能作且只能作三条，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+2S＞0}\\{△=（4+2S）^{2}-16＞0}\end{array}\right.$，且$\left\{\begin{array}{l}{4-2S＜0}\\{{△}_{1}=（4-2S）^{2}-16=0}\end{array}\right.$，
或$\left\{\begin{array}{l}{4+2S＞0}\\{△=（4+2S）^{2}-16=0}\end{array}\right.$，且$\left\{\begin{array}{l}{4-2S＜0}\\{{△}_{1}=（4-2S）^{2}-16＞0}\end{array}\right.$，
解得S=4．
解法二：设x轴、y轴截距分别为a、b．
①a＞0，b＞0时，满足S为定值的l只有1条．
此时：$\frac{b}{a}$=$\frac{2}{a-1}$，可得b=$\frac{2a}{a-1}$．（a＞1，b＞2）．
$S=\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}×\frac{2{a}^{2}}{a-1}$=2+（a-1）+$\frac{1}{a-1}$≥2+2$\sqrt{（a-1）•\frac{1}{a-1}}$=4，当且仅当a=2时取等号，即a=2时，S=4．
②ab＜0时，满足S为定值的l有2条．仿照①可得：当a=$-2-2\sqrt{2}$，b=4（$\sqrt{2}$-1）时，S=4；当a=2$\sqrt{2}$-2，b=-4（$\sqrt{2}$+1）时，S=4．
综上可得：满足S为定值4的l只有2+1=3条．
故选：B．

点评 本题考查了直线的截距、三角形面积计算公式、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．