Question

6．已知函数f（x）的定义域[-1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，

x	-1	0	2	4	5
f（x）	1	4	1.5	4	1

下列关于函数f（x）的命题：
①函数f（x）的值域为[1，4]；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是4，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜4时，函数y=f（x）-a最多有4个零点．
其中正确的命题个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据函数的单调性和特殊值，可判断①的真假；
根据已知导函数的图象，易分析出f（x）在[0，2]上的单调性，可判断②的真假；
根据已知导函数的图象，及表中几个点的坐标，易分析出0≤t≤5，均能保证x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，进而判断③的真假；
由导函数的图象知，当1＜a＜4时，函数y=f（x）-a最多有4个零点，可得结论．

解答 解：∵由导函数的图象知，函数f（x）的最大值点为0与4，最小值点-1或5，函数f（x）的值域为[1，4]，故①正确；
由已知中y=f′（x）的图象可得在[0，2]上f′（x）＜0，即f（x）在[0，2]是减函数，即②正确；
由已知中y=f′（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值4，若x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是4，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即③错误；
由导函数的图象知，当1＜a＜4时，函数y=f（x）-a最多有4个零点，正确．
故选D．

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断，利用导数研究函数的单调性，其中根据已知，分析出函数的大致形状，利用图象分析函数的性质是解答本题的关键．