Question

16．定义在（0，+∞）上的增函数f（x）满足条件：f（xy）=f（x）f（y）对所有正实数x，y均成立，且f（2）=4．
（1）求f（1）和f（8）的值；
（2）解关于x的不等式：16f（$\frac{1}{x-3}$）≥f（2x+1）．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，代入计算求f（1）和f（8）的值；
（2）由（1）把16f（$\frac{1}{x-3}$）≥f（2x+1）转化为f（$\frac{4}{x-3}$）≥f（2x+1），再由f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{x-3}＞0}\\{2x+1＞0}\\{\frac{4}{x-3}≥2x+1}\end{array}\right.$，求解不等式组得答案．

解答 解：（1）∵f（xy）=f（x）f（y），∴f（1×2）=f（1）f（2），
∵f（2）=4，∴f（1）=1，
f（4）=f（2）f（2）=16，f（8）=f（2）f（4）=64；
（2）由16f（$\frac{1}{x-3}$）≥f（2x+1），得f（4）f（$\frac{1}{x-3}$）≥f（2x+1），
即f（$\frac{4}{x-3}$）≥f（2x+1），
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{x-3}＞0}\\{2x+1＞0}\\{\frac{4}{x-3}≥2x+1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞3}\\{2{x}^{2}-5x-7≤0}\end{array}\right.$，
解得：3＜x≤$\frac{7}{2}$．
∴不等式：16f（$\frac{1}{x-3}$）≥f（2x+1）的解集为（3，$\frac{7}{2}$]．

点评 本题考查抽象函数及其应用，考查了数学转化思想方法，是中档题．