Question

14．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程${x^2}-2\sqrt{3}x+2=0$的两个根，且2cosC=1．
求：（1）角C的度数；
（2）AB的长度．

Answer 1

分析 （1）由已知可求cosC=$\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，π），可得C的值．
（2）由题意及韦达定理可求a+b=2$\sqrt{3}$，ab=2，进而利用余弦定理即可解得AB的值．

解答 解：（1）∵2cosC=1，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
又∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵a，b是方程${x^2}-2\sqrt{3}x+2=0$的两个根，
∴a+b=2$\sqrt{3}$，ab=2，
又∵C=$\frac{π}{3}$．
∴AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-ab}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-3ab}$=$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考察了余弦定理的应用，根与系数的关系，考查了转化思想，属于基础题．