Question

19．设函数$f（x）={log_2}（4x）•{log_2}（2x），\frac{1}{4}≤x≤4$．
（1）若t=log₂x，求y关于t的函数解析式，并写出t的范围；?
（2）求f（x） 的最值，并给出最值时相应的x值．

Answer 1

分析 （1）令t=log₂x，利用对数的运算性质可得y=（2+t）•（1+t），再根据x的范围，求得t的范围．
（2）根据y=${（t+\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，利用二次函数的性质求得函数y在[-2，2]上的最值，以及取得最值时相应的x值．

解答 解：（1）∵函数$f（x）={log_2}（4x）•{log_2}（2x），\frac{1}{4}≤x≤4$，
若t=log₂x，则y=（2+log₂x）•（1+log₂x）=（2+t）•（1+t）=t²+3t+2，
∵$\frac{1}{4}$≤x≤4，∴-2≤t≤2，故关于t的函数解析式为y═t²+3t+2 （-2≤t≤2 ）．
（2）∵y=f（x）=t²+3t+2=${（t+\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，
函数y在[-2，-$\frac{3}{2}$]上单调递减，在（$\frac{3}{2}$，+∞）上单调递增，
故在在[-2，2]上，当t=-$\frac{3}{2}$时，函数y取得最小值为-1，此时，x=2$\sqrt{2}$；
当t=2时，函数y取得最大值为12，此时，x=4．

点评 本题主要考查对数的运算性质、二次函数的性质，属于中档题．