Question

10．在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足下列关系：sin²B≤sin²A+sin²C-sinAsinC．
（1）求证：0＜B$≤\frac{π}{3}$．
（2）求函数y=$\frac{1+sin2B}{sinB+cosB}$的值域．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理和不等式的性质可得cosB≥$\frac{1}{2}$，可得0＜B$≤\frac{π}{3}$；
（2）由三角函数公式化简可得y=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），由B的范围易得函数的值域．

解答 解：（1）∵△ABC中sin²B≤sin²A+sin²C-sinAsinC，
∴由正弦定理可得b²≤a²+c²-ac，即a²+c²-b²≥ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$≥$\frac{1}{2}$，∴0＜B$≤\frac{π}{3}$；
（2）y=$\frac{1+sin2B}{sinB+cosB}$=$\frac{si{n}^{2}B+co{s}^{2}B+2sinBcosB}{sinB+cosB}$
=$\frac{（sinB+cosB）^{2}}{sinB+cosB}$=sinB+cosB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），
∵0＜B$≤\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{4}$＜B+$\frac{π}{4}$≤$\frac{7π}{12}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴1＜$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
∴函数的值域为（1，$\sqrt{2}$]

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角函数的值域，属中档题．