Question

1．已知等比数列{a_n}的前n项和S_n满足：S₃=39，且2a₂是3a₁与a₃的等差中项．
（I）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）若数列{a_n}为递增数列，b_n=$\frac{1}{lo{g}_{3}{a}_{n}•lo{g}_{3}{a}_{n+2}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，问是否存在正整数n使得T_n$＞\frac{1}{2}$成立？若存在，求出n的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由题意设数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，从而可得a₁（1+q+q²）=39，2•2a₁q=3a₁+a₁q²，从而解得；
（Ⅱ）利用对数运算化简可得b_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），从而求其前n项和，再解不等式即可．

解答 解：（I）由题意设数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
则由题意可得，
a₁（1+q+q²）=39，
2•2a₁q=3a₁+a₁q²，
解得，q=1，a₁=13或q=3，a₁=3；
故a_n=13或a_n=3ⁿ；
（Ⅱ）∵数列{a_n}为递增数列，∴a_n=3ⁿ；
∴b_n=$\frac{1}{lo{g}_{3}{a}_{n}•lo{g}_{3}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{（lo{g}_{3}{3}^{n}）•（lo{g}_{3}{3}^{n+2}）}$
=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
故T_n$＞\frac{1}{2}$可化为$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）$＞\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$＞0，
故n≥3；
故n的最小值为3．

点评 本题考查了等比数列的性质的应用及对数运算的应用，同时考查了裂项求和法的应用．