如图所示的两个同心圆盘均被等分(且),在相重叠的扇形格中依次同时填上,内圆盘可绕圆心旋转,每次可旋转一个扇形格,当内圆盘旋转到某一位置时,定义所有重叠扇形格中两数之积的和为此位置的“旋转和”.
(1)求个不同位置的“旋转和”的和;
(2)当为偶数时,求个不同位置的“旋转和”的最小值;
(3)设,在如图所示的初始位置将任意对重叠的扇形格中的两数均改写为0,证明:当时,通过旋转,总存在一个位置,任意重叠的扇形格中两数不同时为0.
(1);(2) 最小值;(3)详见解析.
解析试题分析:(1)个不同位置的“旋转和”的和,就是将所有位置的旋转相加,故内盘中的任一数都会和外盘中的每个数作积;(2)设内盘中的和外盘中的同扇形格时的“旋转和”为;设内盘中的和外盘中的同扇形格时的“旋转和”为;依次下去,设内盘中的和外盘中的同扇形格时的“旋转和”为;这样便得一个数列.这样问题转化为求该数列的最小值.求数列的最值,首先研究数列的单调性,而研究数列的单调性,就是研究相邻两项的差的符号,即研究的符号;(3)显然直接证明有点困难,故采用反证法.由于该问题只涉及0与非0的问题,故可将图中所有非数改写为,这样共有个0,个1.假设任意位置,总存在一个重叠的扇形格中两数同时为,则此位置的“旋转和”必大于或等于,初始位置外的个位置的“旋转和”的和为,则有,即,这与矛盾,故命题得证.
试题解析:(1)由于内盘中的任一数都会和外盘中的每个作积,故个不同位置的“旋转和”的和为
; 3分
(2)设内盘中的和外盘中的同扇形格时的“旋转和”为
则
5分
所以当时,,当时,,所以时,最小
最小值
; 8分
(3)证明:将图中所有非数改写为,现假设任意位置,总存在一个重叠的扇形格中两数同时为,则此位置的“旋转和”必大于或等于,初始位置外的个位置的“旋转和”的和为
,则有,即,这与矛盾,故命题得证. 12分
考点:数列及数列的和.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如果数列满足:且,则称数列为阶“归化数列”.
(1)若某4阶“归化数列”是等比数列,写出该数列的各项;
(2)若某11阶“归化数列”是等差数列,求该数列的通项公式;
(3)若为n阶“归化数列”,求证:.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知数列的前项和和通项满足(,是大于0的常数,且),数列是公比不为的等比数列,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,是否存在实数,使数列是等比数列?若存在,求出所有可能的实数的值,若不存在说明理由;
(3)数列是否能为等比数列?若能,请给出一个符合的条件的和的组合,若不能,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设项数均为()的数列、、前项的和分别为、、.已知集合=.
(1)已知,求数列的通项公式;
(2)若,试研究和时是否存在符合条件的数列对(,),并说明理由;
(3)若,对于固定的,求证:符合条件的数列对(,)有偶数对.
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