已知数列的前项和和通项满足(,是大于0的常数,且),数列是公比不为的等比数列,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,是否存在实数,使数列是等比数列?若存在,求出所有可能的实数的值,若不存在说明理由;
(3)数列是否能为等比数列?若能,请给出一个符合的条件的和的组合,若不能,请说明理由.
(1),(2)λ= 2或λ= 3,(3)不可能为等比数列.
解析试题分析:(1)求一般数列通项,常利用和项与通项关系,即当时, ,整理得,又由,得,
结合q>0知,数列是首项为q公比为的等比数列, ∴ (2)存在性问题,一般从假设存在出发,探求等量关系,将是否存在转化为是否有解. 结合(1)知,当q=2时,,所以,假设存在实数,使数列是等比数列,则对任意n≥2有(cn+1+λcn)2=(cn+2+λcn+1)(cn+λcn 1),将cn=2n+3n代入上式,整理得(2+λ)(3+λ)·2n·3n=0,解得λ= 2或λ= 3.(3)首先利用特殊值探讨,得出结论是数列不可能为等比数列.说明也可根据特例. 由题意得c1c3 c22=b1q(p2+q2 2pq),由于p≠q时,p2+q2>2pq,又q及等比数列的首项b1均不为零,所以 c1c3 c22≠0,即 c22≠c1·c3. 故{cn}不是等比数列.
解:(1)当时,
,整理得 2分
又由,得 3分
结合q>0知,数列是首项为q公比为的等比数列, ∴ 5分
(2)结合(1)知,当q=2时,,所以 6分
假设存在实数,使数列是等比数列,则对任意n≥2有
(cn+1+λcn)2=(cn+2+λcn+1)(cn+λcn 1),将cn=2n+3n代入上式,得:
[2n+1+3n+1+λ(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2+λ(2n+1+3n+1)]·[2n+3n+λ(2n 1+3n 1)],
即 [(2+λ)2n+(3+λ)3n]2=[(2+λ)2n+1+(3+λ)3n+1][(2+λ)2n 1+(3+λ)3n 1],
整理得(2+λ)(3+λ)·2n·3n=0,解得λ= 2或λ= 3. 10分
故存在实数实数= 2或 3,使数列是等比数列. 11分
(3)数列不可能为等比数列. 12分
理由如下:
设等比数列{bn}的公比为p,则由题设知p≠q,则cn=qn+b1pn 1
为要证{cn}不是等比数列只需证c22≠c1·c3.
事实上,
c22=(q2+b1p)2=q4+2q2b1p+b12p2, ①
c1·c3=(q+b1)(q3+b1p2)=q4+b12p2+b1q(p2+q2), ②
②-①得
c1c3 c22=b1q(p2+q2 2pq)
由于p≠q时,p2+q2>2pq,又q及等比数列的首项b1均不为零,
所以 c1c3 c22≠0,即 c22≠c1·c3. 故{cn}不是等比数列. 16分
考点:数列和项与通项关系,数列综合应用
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示的两个同心圆盘均被等分(且),在相重叠的扇形格中依次同时填上,内圆盘可绕圆心旋转,每次可旋转一个扇形格,当内圆盘旋转到某一位置时,定义所有重叠扇形格中两数之积的和为此位置的“旋转和”.
(1)求个不同位置的“旋转和”的和;
(2)当为偶数时,求个不同位置的“旋转和”的最小值;
(3)设,在如图所示的初始位置将任意对重叠的扇形格中的两数均改写为0,证明:当时,通过旋转,总存在一个位置,任意重叠的扇形格中两数不同时为0.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知数列的各项都是正数,且对任意都有,其中为数列的前项和.
(1)求、;
(2)求数列的通项公式;
(3)设,对任意的,都有恒成立,求实数的取值范围.
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