设项数均为()的数列、、前项的和分别为、、.已知集合=.
(1)已知,求数列的通项公式;
(2)若,试研究和时是否存在符合条件的数列对(,),并说明理由;
(3)若,对于固定的,求证:符合条件的数列对(,)有偶数对.
(1);(2)时,数列、可以为(不唯一)6,12,16,14;2,8,10,4,时,数列对(,)不存在.(3)证明见解析.
解析试题分析:(1)这实质是已知数列的前项和,要求通项公式的问题,利用关系来解决;(2)时,可求出,再利用
=,可找到数列对(,)(注意结果不唯一),当时,由于,即,可以想象,若存在,则应该很大(体现在),研究发现(具体证明可利用二项展开式,
,注意到,展开式中至少有7项,故,下面证明这个式子大于,应该很好证明了),这不符合题意,故不存在;(3)可通过构造法说明满足题意和数列对是成对出现的,即对于数列对(,),构造新数列对,(),则数列对(,)也满足题意,(要说明的是及=且数列与,与不相同(用反证法,若相同,则,又,则有均为奇数,矛盾).
试题解析:(1)时,
时,,不适合该式
故, 4分
(2),
时,
6分
当时,,,,
=
数列、可以为(不唯一):
6,12,16,14;2,8,10,4 ② 16,10,8,14;12,6,2,4 8分
当时,
此时不存在.故数列对(,)不存在. &
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示的两个同心圆盘均被等分(且),在相重叠的扇形格中依次同时填上,内圆盘可绕圆心旋转,每次可旋转一个扇形格,当内圆盘旋转到某一位置时,定义所有重叠扇形格中两数之积的和为此位置的“旋转和”.
(1)求个不同位置的“旋转和”的和;
(2)当为偶数时,求个不同位置的“旋转和”的最小值;
(3)设,在如图所示的初始位置将任意对重叠的扇形格中的两数均改写为0,证明:当时,通过旋转,总存在一个位置,任意重叠的扇形格中两数不同时为0.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知数列的各项都是正数,且对任意都有,其中为数列的前项和.
(1)求、;
(2)求数列的通项公式;
(3)设,对任意的,都有恒成立,求实数的取值范围.
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