Question

【题目】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且.D为线段AC的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)若点E在线段PB上，且，求三棱锥体积的最大值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)24.

【解析】

（1）由已知先证明AC⊥OD，又PO⊥AC，从而得到AC⊥平面PDO，进而证明平面PAC⊥平面PDO；
（2）由题意先求得△ABC面积的最大值，进而求得三棱锥PABC体积的最大值，从而求得三棱锥EPOC体积的最大值．

(1)证明：在ΔAOC中，因为OA＝OC，D为AC的中点，所以AC⊥OD，

又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC；

又DO∩PO=O，所以AC⊥平面PDO；

又AC平面PAC，

所以平面PAC⊥平面PDO；

(2)由PE=PB，则

所以V三梭锥E-POC=V三棱锥C-POE=V三棱维C-POB=S三棱维P-OCB=V三棱维P-ACB

又点C在圆O.上，所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为6；

又AB=12，所以ΔABC面积的最大值为×12×6=36；

又三棱锥P-ABC的高为PO=6，

所以三棱锥P-ABC体积的最大值为×36×6=72；

综上知，三棱锥E-POC体积的最大值为×72=24.