Question

16．已知函数f（x）=cosx+$\frac{x^2}{2}$-1，g（x）=e^ax．
（Ⅰ）当x≥0时，判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意x≥0，不等式g（x）≥$\frac{x^2}{2}$+x+1≥sinx-cosx+2恒成立；
（Ⅲ）若不等式e^ax≥sinx-cosx+2对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，证明f'（x）=x-sinx为增函数，从而可得f（x）在x≥0时为增函数，即可证明当x≥0时，f（x）≥0；
（Ⅱ）根据函数的单调性分别证明$\frac{x^2}{2}$+x+1≥sinx-cosx+2恒成立，设F（x）=e^x-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1，得到F（x）≥F（0）=0即可；
（Ⅲ）解法一：证明以$\frac{{x}^{2}}{2}$+x+1≥sinx-cosx+2，设G（x）=e^x-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1，证明G（x）为增函数，所以G（x）≥G（0）=0，所以e^x≥sinx-cosx+2对任意的x≥0恒成立，再分类讨论，利用不等式e^ax≥sinx-cosx+2对任意的x≥0恒成立，即可求实数a的取值范围；
解法二：因为e^ax≥sinx-cosx+2等价于ax≥ln（sinx-cosx+2），设g（x）=ax-ln（sinx-cosx+2），分类讨论，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=cosx+$\frac{x^2}{2}$-1，（x≥0），
则f′（x）=x-sinx，
设h（x）=x-sinx，则h′（x）=1-cosx，
当x≥0时，h′（x）=1-cosx≥0，即f′（x）为增函数，
所以f′（x）≥f′（0）=0，
即f（x）在x≥0时为增函数，
所以f（x）≥f（0）=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得x≥0时，f（x）≥f（0）=0，f′（x）≥f′（0）=0，
∴sinx≤x，cosx≥-$\frac{{x}^{2}}{2}$+1，即x≥sinx，$\frac{{x}^{2}}{2}$+1≥-cosx+2，
∴x≥0时，$\frac{x^2}{2}$+x+1≥sinx-cosx+2恒成立，
设F（x）=e^x-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1，则F′（x）=e^x-x-1，设h（x）=e^x-x-1，
则h′（x）=e^x-1，当x≥0时，h′（x）≥0，
∴h（x）在（0，+∞）递增，
∴h（x）≥h（0）=0，
∴F（x）是增函数，F（x）≥F（0）=0，
∴对任意x≥0，e^x≥$\frac{x^2}{2}$+x+1≥sinx-cosx+2恒成立；
（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）知x≥0时，sinx≤x，cosx≥-$\frac{{x}^{2}}{2}$+1，
所以$\frac{{x}^{2}}{2}$+x+1≥sinx-cosx+2，
设G（x）=e^x-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1，则G'（x）=e^x-x-1，
设g（x）=e^x-x-1，则g'（x）=e^x-1，
当x≥0时g'（x）=e^x-1≥0，所以g（x）=e^x-x-1为增函数，
所以g（x）≥g（0）=0，所以G（x）为增函数，所以G（x）≥G（0）=0，
所以e^x≥sinx-cosx+2对任意的x≥0恒成立．
又x≥0，a≥1时，e^ax≥e^x，
所以a≥1时e^ax≥sinx-cosx+2对任意的x≥0恒成立．
当a＜1时，设h（x）=e^ax-sinx+cosx-2，则h'（x）=ae^ax-cosx-sinx，h'（0）=a-1＜0，
所以存在实数x₀＞0，使得任意x∈（0，x₀），均有h'（x）＜0，所以h（x）在（0，x₀）为减函数，
所以在x∈（0，x₀）时h（x）＜h（0）=0，所以a＜1时不符合题意．
综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．
解法二：因为e^ax≥sinx-cosx+2等价于ax≥ln（sinx-cosx+2）
设g（x）=ax-ln（sinx-cosx+2），则g′（x）=a-$\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx+2}$，
可求 $\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx+2}$∈[-1，1]，
所以当a≥1时，g′（x）≥0恒成立，g（x）在[0，+∞）是增函数，
所以g（x）≥g（0）=0，即ax≥ln（sinx-cosx+2），即e^ax≥sinx-cosx+2
所以a≥1时，e^ax≥sinx-cosx+2对任意x≥0恒成立．
当a＜1时，一定存在x₀＞0，满足在（0，x₀）时，g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，x₀）是减函数，此时一定有g（x）＜g（0）=0，
即ax＜ln（sinx-cosx+2），即e^ax＜sinx-cosx+2，不符合题意，故a＜1不能满足题意，
综上所述，a≥1时，e^ax≥sinx-cosx+2对任意x≥0恒成立．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度大．