Question

13．5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有（　　）种不同的站法．

• A． 42
• B． 44
• C． 46
• D． 48

Answer 1

分析 方法一：根据容斥原理即可求出，
方法二：根据数列的递推公式即可求出．

解答 解：方法一：设原来站在第i个位置的人是（i=1，2，3，4，5），
重新站队时，站在第2个位置的站法有4!种，其中不符合要求的有：站第3位的3!种，站第4位的3!种，
但有的站法在考虑的情形时已经减去了，故只应再算（3!-2!）种，
同理，站第5位的应再算[3!-2!（2!-1!）]种，
站在第3，4，5位的情形与站在第2位的情形时对等的，
故所有符合要求的站法有：4{4!-3!-（3!-2!）-[3!-2!-（2!-1!）]}=44（种），
方法二：首先我们把人数推广到 n个人，即n个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上．设满足这样的站队方式有a_n种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：
第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有n-1种站法．
第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的n-2个人有a_n-2种站队方式；第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，…，第n个人不站在第n个位置，所以有a_n-1种站队方式．
由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列a_n的递推关系式：
a_n=（n-1）×（a_n-1+a_n-2），显然，a₁=0，a₂=1，a3=2，a₄=9，a₅=44，有44种排法
故选：B．

点评 本题考查了错位排列问题，掌握容斥原理是关键，属于难题．