Question

8．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}，x∈[-1，1）}\\{{x}^{2}-1，x∈[1，2]}\end{array}\right.$，则${∫}_{-1}^{2}$f（x）dx的值为$\frac{π}{2}$+$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 根据分段函数的积分公式和性质，及定积分的几何意义，即可得到结论．

解答 解：由定积分的性质${∫}_{-1}^{2}$f（x）dx=${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$+${∫}_{1}^{2}{（x}^{2}-1）dx$，
根据定积分的几何意义，${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$表示是以原点为圆心，以1为半径圆面积的一半，
∴${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$=$\frac{π}{2}$，
${∫}_{1}^{2}{（x}^{2}-1）dx$=（$\frac{1}{3}$x³-x）${丨}_{1}^{2}$=$\frac{4}{3}$，
${∫}_{-1}^{2}$f（x）dx=$\frac{π}{2}$+$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$+$\frac{4}{3}$．

点评 本题求一个分段函数的定积分之值，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．