Question

12．向量$\overrightarrow{a}$=（1，sinθ），$\overrightarrow{b}$=（cosθ，$\sqrt{3}$），θ∈R，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的取值范围为[1，3]．

Answer 1

分析 由平面向量的坐标运算求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（1-cosθ，sin$θ-\sqrt{3}$），由此利用三角函数性质能求出|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的取值范围．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，sinθ），$\overrightarrow{b}$=（cosθ，$\sqrt{3}$），θ∈R，
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（1-cosθ，sin$θ-\sqrt{3}$），
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（1-cosθ）^{2}+（sinθ-\sqrt{3}）^{2}}$
=$\sqrt{5-2\sqrt{3}sinθ-2cosθ}$
=$\sqrt{5-4sin（θ+\frac{π}{6}）}$，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的取值范围为[1，3]．
故答案为：[1，3]．

点评 本题考查向量的模的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量的坐标运算及三角函数的性质的合理运用．