Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{|x+3|-|x-1|+5}$．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a²+b²=m，c²+d²=n，求ac+bd的取值范围．

Answer 1

分析 （1）记g（x）=|x+3|-|x-1|+5，分类讨论求得g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≤-3}\\{2x+7，-3＜x＜1}\\{9，x≥1}\end{array}\right.$，从而求值域；
（2）由柯西不等式知（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，从而求取值范围．

解答 解：（1）记g（x）=|x+3|-|x-1|+5，
则g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≤-3}\\{2x+7，-3＜x＜1}\\{9，x≥1}\end{array}\right.$，
故g（x）∈[1，9]，
故f（x）∈[1，3]．
（2）由（1）知，a²+b²=1，c²+d²=3，
由柯西不等式知，
（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，
（当且仅当ad=bc时，取等号；）
即（ac+bd）²≤3，
故-$\sqrt{3}$≤ac+bd≤$\sqrt{3}$，
故ac+bd的取值范围为[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了绝对值函数的应用及分类讨论的思想方法应用，同时考查了柯西不等式的应用．