Question

17．已知函数{a_n}：a₁=t，n²S_n+1=n²（S_n+a_n）+a_n²，n=1，2，…．
（1）设{a_n}为等差数列，且前两项和S₂=3，求t的值；
（2）若t=$\frac{1}{3}$，证明：$\frac{n}{2n+1}$≤a_n＜1．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）先证a_n＜1．易知a_n＞0，且{a_n}为递增数列，利用递推关系可得：$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}＞-\frac{1}{n^2}$，利用“累加求和”方法即可证明．再证${a_n}≥\frac{n}{2n+1}$，当n=1时，${a_1}=\frac{1}{3}≥\frac{1}{2×1+1}$成立，由a_n＜1，可得：$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}＜-\frac{1}{{1+{n^2}}}$，利用“累加求和”方法即可得出．

解答 （1）解：设等差数列公差为d，则2t+d=3，
又${1^2}•{S_2}={1^2}（{S_1}+{a_1}）+a_1^2$，
得a₁=1或a₁=-3，
但当a₁=-3时，d=9，无法使${n^2}{S_{n+1}}={n^2}（{S_n}+{a_n}）+a_n^2$恒成立，
∴t=1．
（2）先证a_n＜1．
易知a_n＞0，${a_{n+1}}-{a_n}=\frac{a_n^2}{n^2}＞0$，故{a_n}为递增数列，
从而${a_{n+1}}={a_n}+\frac{a_n^2}{n^2}＜{a_n}+\frac{{{a_n}{a_{n-1}}}}{n^2}$，
∴$\frac{1}{a_n}＜\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{n^2}$有$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}＞-\frac{1}{n^2}$，
由叠加法有$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_1}＞-[\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{{（n-1）}^2}}}]$（n≥2），
注意到$\frac{1}{k^2}＜\frac{1}{k（k-1）}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$（k≥2），
∴$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_1}＞[\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{{{{（n-1）}^2}}}]$，$＞-[1+（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}）]$=$\frac{1}{n-1}-2$
从而$\frac{1}{a_n}＞1+\frac{1}{n-1}＞1$，即a_n＜1（n≥2），
又${a_1}=t=\frac{1}{3}＜1$，有a_n＜1（n∈N^*）成立．
再证${a_n}≥\frac{n}{2n+1}$，
当n=1时，${a_1}=\frac{1}{3}≥\frac{1}{2×1+1}$成立，
由a_n＜1，${a_{n+1}}={a_n}+\frac{a_n^2}{n^2}＜{a_n}+\frac{a_n}{n^2}⇒{a_n}＞\frac{n^2}{{1+{n^2}}}{a_{n+1}}$，
从而${a_{n+1}}={a_n}+\frac{a_n^2}{n^2}={a_n}+\frac{a_n}{n^2}•{a_n}$$＞{a_n}+\frac{a_n}{n^2}•\frac{n^2}{{1+{n^2}}}{a_{n+1}}$=${a_n}+\frac{{{a_n}{a_{n+1}}}}{{1+{n^2}}}$
∴$\frac{1}{a_n}＞\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{{1+{n^2}}}$，即有$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}＜-\frac{1}{{1+{n^2}}}$，
叠加有$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_1}＜-[\frac{1}{{1+{1^2}}}+\frac{1}{{1+{2^2}}}+…+\frac{1}{{1+{{（n-1）}^2}}}]$（n≥2），
又$\frac{1}{{1+{k^2}}}＞\frac{1}{{k+{k^2}}}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$，
从而$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_1}＜-[\frac{1}{{1+{1^2}}}+\frac{1}{{1+{2^2}}}+…+\frac{1}{{1+{{（n-1）}^2}}}]$$＜-[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$=$\frac{1}{n-1}$
∴$\frac{1}{a_n}＜2+\frac{1}{n}=\frac{2n+1}{n}$，即有${a_n}＞\frac{n}{2n+1}$（n≥2），
综上${a_n}≥\frac{n}{2n+1}$（n∈N^*）．

点评 本题考查了递推关系、不等式的性质、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．