Question

14．已知△ABC中，∠A：∠B=1：2，a：b=1：$\sqrt{3}$，求△ABC的三个内角．

Answer 1

分析 根据题意和正弦定理、二倍角的正弦公式求出cosA，由A的范围和特殊角的三角函数值求出A，再由条件求出B，由内角和定理求出C．

解答 解：在△ABC中，∵∠A：∠B=1：2，a：b=1：$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，则$\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}$，
即$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{sinA}{sin2A}$=$\frac{1}{2cosA}$，得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{π}{3}$，
则C=π-A-B=$\frac{π}{2}$，
∴△ABC的三个内角分别为A=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查正弦定理、二倍角的正弦公式，以及内角和定理的应用，注重对基础公式的考查．