Question

5．已知点P在|x|+|y|≤1表示的平面区域内，点Q在$\left\{\begin{array}{l}{|x-2|≤1}\\{|y-2|≤1}\end{array}\right.$表示的平面区域内．
（1）画出点P和点Q所在的平面区域；
（2）求P与Q之间的最大距离和最小距离．

Answer 1

分析 （1）根据二元一次不等式组表示平面区域进行作图即可．
（2）利用数形结合以及点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：（1）|x|+|y|≤1对应的区域为正方形ABCD，
$\left\{\begin{array}{l}{|x-2|≤1}\\{|y-2|≤1}\end{array}\right.$等价为$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤3}\\{1≤y≤3}\end{array}\right.$对应的区域为正方形EFGH
（2）由条件知AB的方程为x+y=1，CD的方程为x+y=-1，
则E到AB的距离最小，此时E（1，1），
E到AB：x+y-1=0的距离d=$\frac{|1+1-1|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
G到CD：x+y+1=0的距离最大，此时d=$\frac{|3+3+1|}{\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．
即P与Q之间的最大距离$\frac{7\sqrt{2}}{2}$和最小距离是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用二元一次不等式组表示平面区域以及数形结合是解决本题的关键．