Question

15．某中学校本课程开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生．
（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；
（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（3）求A选修课被这3名学生选择的人数ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）每个学生有四个不同的选择，由此根据分步乘法计数原理，能求出这3名学生选修课所有选法的总数．
（2）由已知利用排列组合知识能求出恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率．
（3）A选修课被这3名学生选择的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）每个学生有四个不同的选择，
根据分步乘法计数原理，
这3名学生选修课所有选法的总数N=4×4×4=64．
（2）恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为：
$p=\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{2}{A}_{2}^{2}}{{4}^{3}}$=$\frac{2×3×3×2}{4×4×4}$=$\frac{9}{16}$．
（3）A选修课被这3名学生选择的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{3}^{3}}{{4}^{3}}$=$\frac{27}{64}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}•{3}^{2}}{{4}^{3}}$=$\frac{27}{64}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}•3}{{4}^{3}}$=$\frac{9}{64}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{4}^{3}}$=$\frac{1}{64}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

Eξ=$0×\frac{27}{64}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{1}{64}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意计算原理、排列组合知识的合理运用．