Question

7．已知函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-2cos2x）；
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求函数的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求函数的定义域，结合函数奇偶性的定义进行判断即可．
（2）根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）由1-2cos2x＞0得cos2x＜$\frac{1}{2}$，则$\frac{π}{3}$+2kπ＜2x＜$\frac{5π}{3}$+2kπ，即kπ+$\frac{π}{6}$＜x＜kπ+$\frac{5π}{6}$，
则定义域关于原点对称，则f（-x）=y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-2cos2x）=f（x），
则函数f（x）是偶函数；
（2）设t=1-2cos2x，则函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t为减函数，
当$\frac{π}{3}$+2kπ＜2x≤π+2kπ，即kπ+$\frac{π}{6}$＜x≤$\frac{π}{2}$+kπ时，y=cos2x为减函数，y=1-2cos2x为增函数，y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-2cos2x）为减函数，即单调递减区间为（kπ+$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$+kπ]，k∈Z，
当π+2kπ≤2x＜$\frac{5π}{3}$++2kπ，即$\frac{π}{2}$+kπ≤x＜kπ+$\frac{5π}{6}$时，y=cos2x为增函数，y=1-2cos2x为减函数，y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-2cos2x）为增函数，即单调递增区间为[$\frac{π}{2}$+kπ，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．