Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{e^x}$-ax（x∈R）．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0且x＞0时，f（x）≤|lnx|，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）法一：问题转化为lnx-$\frac{1}{e^x}+ax≥0$．（*）令g（x）=lnx-$\frac{1}{e^x}+ax$（a＞0），通过讨论函数的单调性求出a的范围即可；
法二：f（x）≤|lnx|等价于$\frac{1}{e^x}-ax≤|{lnx}|$，令g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-|lnx|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{e}^{x}}-lnx，x≥1}\\{\frac{1}{{e}^{x}}+lnx，0＜x＜1}\end{array}\right.$，通过讨论函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）∵当a=-2时，f（x）=$\frac{1}{e^x}+2x$，
∴$f'（x）=-\frac{1}{e^x}+2$．…（1分）
令$f'（x）=-\frac{1}{e^x}+2$=0，得$x=ln\frac{1}{2}=-ln2$．…（2分）
当x＜-ln2时，f'（x）＜0； 当x＞-ln2时，f'（x）＞0．…（3分）
∴函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-ln2），递增区间为（-ln2，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）解法1：当x≥1时，f（x）≤|lnx|等价于$\frac{1}{e^x}-ax≤lnx$，即lnx-$\frac{1}{e^x}+ax≥0$．（*）
令g（x）=lnx-$\frac{1}{e^x}+ax$（a＞0），则$g'（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{e^x}+a$＞0，…（5分）
∴函数g（x）在[1，+∞）上单调递增．
∴$g（x）≥g（1）=-\frac{1}{e}+a$．…（6分）
要使（*）成立，则$-\frac{1}{e}+a≥0$，得$a≥\frac{1}{e}$．…（7分）
下面证明若$a≥\frac{1}{e}$时，对x∈（0，1），f（x）≤|lnx|也成立．
当x∈（0，1）时，f（x）≤|lnx|等价于$\frac{1}{e^x}-ax≤-lnx$，即lnx+$\frac{1}{e^x}-ax≤0$．
而lnx+$\frac{1}{e^x}-ax≤$lnx+$\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e}x$．（**）  …（8分）
令h（x）=lnx+$\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e}x$，则$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e}$，
再令$φ（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e}$，则$φ'（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{e^x}=\frac{{{x^2}-{e^x}}}{{{x^2}{e^x}}}$．
由于x∈（0，1），则x²＜1，e^x＞1，故$φ'（x）=\frac{{{x^2}-{e^x}}}{{{x^2}{e^x}}}$＜0．…（9分）
∴函数φ（x）在（0，1）上单调递减．
∴$φ（x）＞φ（1）=1-\frac{1}{e}-\frac{1}{e}=1-\frac{2}{e}＞0$，即h'（x）＞0．…（10分）
∴函数h（x）在（0，1）上单调递增．
∴$h（x）＜h（1）=\frac{1}{e}-\frac{1}{e}=0$．…（11分）
由（**）式lnx+$\frac{1}{e^x}-ax≤$lnx+$\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e}x$＜0．
综上所述，所求a的取值范围为$[{\frac{1}{e}，+∞}）$．…（12分）

解法2：f（x）≤|lnx|等价于$\frac{1}{e^x}-ax≤|{lnx}|$，即$ax≥\frac{1}{e^x}-|{lnx}|$．（*）    
令g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-|lnx|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{e}^{x}}-lnx，x≥1}\\{\frac{1}{{e}^{x}}+lnx，0＜x＜1}\end{array}\right.$
当x≥1时，$g（x）=\frac{1}{e^x}-lnx$，则$g'（x）=-\frac{1}{e^x}-\frac{1}{x}＜0$．
∴函数g（x）在区间[1，+∞）上单调递减．
∴$g（x）≤g（1）=\frac{1}{e}$．…（6分）
当0＜x＜1时，$g（x）=\frac{1}{e^x}+lnx$，则$g'（x）=-\frac{1}{e^x}+\frac{1}{x}=\frac{{{e^x}-x}}{{x{e^x}}}＞0$．
∴函数g（x）在区间（0，1）上单调递增．
∴$g（x）＜g（1）=\frac{1}{e}$．…（7分）
下面证明，当$a≥\frac{1}{e}$时，（*）式成立：
①当x≥1时，$ax≥\frac{1}{e}≥g（x）$，（*）式成立．…（8分）
②当0＜x＜1时，由于$ax≥\frac{1}{e}x$，令h（x）=lnx+$\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e}x$，
则$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e}$，
再令$φ（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e}$，则$φ'（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{e^x}=\frac{{{x^2}-{e^x}}}{{{x^2}{e^x}}}$．
由于x∈（0，1），则x²＜1，e^x＞1，故$φ'（x）=\frac{{{x^2}-{e^x}}}{{{x^2}{e^x}}}$＜0．…（9分）
∴函数φ（x）在（0，1）上单调递减．
∴$φ（x）＞φ（1）=1-\frac{1}{e}-\frac{1}{e}=1-\frac{2}{e}＞0$，即h'（x）＞0．
∴函数h（x）在（0，1）上单调递增．
∴$h（x）＜h（1）=\frac{1}{e}-\frac{1}{e}=0$．…（10分）
∴lnx+$\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e}x＜0$．…（11分）
∴lnx+$\frac{1}{e^x}＜\frac{1}{e}x≤ax$，即（*）式成立．
综上所述，所求a的取值范围为$[{\frac{1}{e}，+∞}）$．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．