Question

9．已知直线l：3x-4y+m=0过点（-1，2），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G的方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），正方形OABC内接于曲线G，且O，A，B，C依逆时针方向排列，A在极轴上．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线G的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P为直线l上任意一点，求PO²+PA²+PB²+PC²的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线l：3x-4y+m=0过点（-1，2），代入解得m=11．可得直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{4}{5}t}\\{y=2+\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
曲线G的方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开化为：ρ²=$2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²即可得出直角标准方程．
（Ⅱ）可知O，A，B，C依逆时针方向的直角坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（2，2），C（0，2），设P（x，y），则PO²+PA²+PB²+PC²=4[（x-1）²+（y-1）²]+8，而（x-1）²+（y-1）²表示圆G的圆心G（1，1）与点P距离的平方，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l：3x-4y+m=0过点（-1，2），∴-3-8+m=0，解得m=11．
可得直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{4}{5}t}\\{y=2+\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
曲线G的方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开化为：ρ²=$2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$，
可得：曲线G的直角坐标方程为x²+y²=2x+2y，配方为：（x-1）²+（y-1）²=2．
（Ⅱ）可知O，A，B，C依逆时针方向的直角坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（2，2），C（0，2），设P（x，y），
则PO²+PA²+PB²+PC²=x²+y²+（x-2）²+y²+（x-2）²+（y-2）²+x²+（y-2）²=4x²+4y²-8x-8y+16=4[（x-1）²+（y-1）²]+8，
而（x-1）²+（y-1）²表示圆G的圆心G（1，1）与点P距离的平方，
其最小值为G（1，1）到直线l距离的平方，即（x-1）²+（y-1）²≥$（\frac{|3-4+11|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}）^{2}$=4，
∴PO²+PA²+PB²+PC²的最小值为4×4+8=24．

点评 本题考查圆的极坐标方程、直线的参数方程及参数几何意义的应用、点到直线的距离公式、正方形的性质，以及考查逻辑思维能力、等价转化的能力、运算求解能力，属于中档题．