Question

14．在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角α=$\frac{π}{6}$．
（1）将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式；
（2）在极坐标系中，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系．若曲线C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=3sinθ}\\{y=acosθ}\end{array}}$（θ为参数，a∈R）与直线l有一个公共点在y轴上，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先得出直线l的直角坐标方程，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出极坐标方程．
（2）直线l的直角坐标方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），令x=0，可得y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．曲线C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=3sinθ}\\{y=acosθ}\end{array}}$（θ为参数，a∈R），a≠0时化为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1，把$（0，-\frac{2\sqrt{3}}{3}）$代入上述方程解出即可得出．a=0时，不满足条件，舍去．

解答 解：（1）直线l的直角坐标方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），化为极坐标方程：ρcosθ-$\sqrt{3}ρsinθ$-2=0，可得：ρ=$\frac{2}{cosθ-\sqrt{3}sinθ}$=$\frac{-1}{sin（θ-\frac{π}{6}）}$．
（2）直线l的直角坐标方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），令x=0，可得y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
曲线C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=3sinθ}\\{y=acosθ}\end{array}}$（θ为参数，a∈R），a≠0时化为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1，
把$（0，-\frac{2\sqrt{3}}{3}）$代入上述方程可得：a=$±\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
a=0时，不满足条件，舍去．
综上可得：a=$±\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程、直线与曲线的交点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．