Question

1．已知实数x＞0，y＞0，z＞0，证明：（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$+$\frac{3}{z}$）（$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{4}$+$\frac{z}{6}$）≥$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 运用柯西不等式可得（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$+$\frac{3}{z}$）（$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{4}$+$\frac{z}{6}$）≥（$\sqrt{\frac{1}{x}•\frac{x}{2}}$+$\sqrt{\frac{2}{y}•\frac{y}{4}}$+$\sqrt{\frac{3}{z}•\frac{z}{6}}$）²，化简整理即可得证．

解答 证明：由x＞0，y＞0，z＞0，
（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$+$\frac{3}{z}$）（$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{4}$+$\frac{z}{6}$）≥（$\sqrt{\frac{1}{x}•\frac{x}{2}}$+$\sqrt{\frac{2}{y}•\frac{y}{4}}$+$\sqrt{\frac{3}{z}•\frac{z}{6}}$）²
=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{9}{2}$．
当且仅当x=$\frac{y}{2}$=$\frac{z}{3}$时，取得等号．
故原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查运算和推理能力，属于中档题．